L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des
fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un
C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou
plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du
plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses
propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables
en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est
analytique et vérifie le principe du maximum. Le principe des zéros
isolés permet de définir le corps des fonctions méromorphes comme
ensemble des quotients de fonctions entières, c'est-à-dire de fonctions
holomorphes définies sur tout le plan complexe. Parmi ces fonctions
méromorphes, les fonctions homographiques forment un groupe qui agit sur
la sphère de Riemann, constituée du plan complexe muni d'un point à
l'infini. Le prolongement analytique mène à la définition des surfaces
de Riemann, qui permettent de ramener à de vraies fonctions (dont elles
sont le support) les fonctions multivaluées telles que la racine carrée
ou le logarithme complexe.